Question

已知正六棱臺的上下底面的邊長分別為a，b（a＜b），側(cè)面和底面所圍成的二面角為60°，則它的側(cè)面積為

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：正六棱臺側(cè)面積S=3（a+b）x高，上下兩面的面積差為

3 3

2

(a2-b2)，由已知條件推導(dǎo)出側(cè)面積為棱臺上下面差面積的二倍，由此能求出它的側(cè)面積．

解答： 解：正六棱臺側(cè)面積S=3（a+b）x高，
將上下兩面平分為兩個相等的等腰梯形，
所以上下面面積可以表示為

3 (2a+a)

2

a和

3 (2b+b)

2

b，
現(xiàn)在將上平面投射到下平面，
上下兩面的面積差為

3 3

2

(a2-b2)，
然后連接上面投影與下面的6個棱角，
下面比上面多出的面積正好是6個等腰梯形組成（后文稱小梯形），
而這梯形的上下底與側(cè)面梯形上下底同是a與b，
過投影一頂點A到棱臺下面對應(yīng)邊的垂線交于B，
則這條垂線AB就是“小梯形”的高，
再過B作B所在棱臺側(cè)面的等腰梯形的高交上面邊于C，
則BC為棱臺側(cè)面等腰梯形的高，
由已知條件得知二面角為60°，
則BC=2AC 所以側(cè)面積為棱臺上下面差面積的二倍，
∴它的側(cè)面積為S=2×

3 3

2

(a2-b2)=3

3

（a²-b²）．
故答案為：3

3

（a²-b²）．

點評：本題考查正六棱臺側(cè)面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．