Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex

a

+

a

ex

，（e為無(wú)理數(shù)，且e≈2.71828…）是R上的偶函數(shù)且a＞0．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的偶函數(shù)，可得f（-1）=f（1），即

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，化簡(jiǎn)得 

1

e

(

1

a

-a)=e（

1

a

-a），故有

1

a

-a=0，a²=1．再由a＞0求得a的值．
（2）由f（x）=e^x+e^-x，可得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-

1

ex

，根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，可得f′（x）＞0，從而得到f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

解答：解　（1）∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（-1）=f（1），∴

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即  

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即

1

ae

-

a

e

=

e

a

-ae．
∴

1

e

(

1

a

-a)=e（

1

a

-a），∴

1

a

-a=0，∴a²=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）由上可得f（x）=e^x+e^-x．
由于函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-

1

ex

，當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，∴f′（x）=e^x-

1

ex

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．