Question

若函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g（x）=log_a（x+k）的圖象是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復合函數(shù)的性質，我們可得k=1，a＞1，由此不難判斷函數(shù)的圖象．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函數(shù)
則f（-x）+f（x）=0
即（k-1）（a^x-a^-x）=0
則k=1
又∵函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)
則a＞1
則g（x）=log_a（x+k）=log_a（x+1）
函數(shù)圖象必過原點，且為增函數(shù)
故選C

點評：若函數(shù)在其定義域為為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，若函數(shù)在其定義域為為偶函數(shù)，則f（-x）-f（x）=0，這是函數(shù)奇偶性定義的變形使用，另外函數(shù)單調性的性質，在公共單調區(qū)間上：增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)也是解決本題的關鍵．