Question

19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足$a_{n+1}^2=2{S_n}+n+4，且{a_2}-1，{a_3}，{a_7}$恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${c_n}={b_n}+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）∵${a}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}^{2}$=2S_n-1+n+3，
${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$=2a_n+1，
化為${a}_{n+1}^{2}$=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∵各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為1．
∴a_n=a₁+n-1．
∵a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)．
∴${a}_{3}^{2}$=（a₂-1）a₇，
∴$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁•（a₁+6），
化為2a₁=4．
解得a₁=2．
∴a_n=n+1，
∴等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為2，公比為2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）${c_n}={b_n}+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=2ⁿ+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
=2ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．