Question

已知等腰三角形腰上的中線長為，則該三角形的面積的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意畫出圖形，如圖所示，設出等腰三角形的腰長為2a，根據D為AB中點，得到AD等于a，在三角形ADC中，利用余弦定理表示出cosA，解出a²，然后根據三角形的面積公式表示出三角形ADC的面積，并設面積為S，對表示出的面積兩邊求導數，令導函數等于0求出cosA的值，由cosA的值討論導函數的正負，得到函數的單調區(qū)間，根據函數的增減性得到函數的最大值，且函數取得最大值時cosA的值，由cosA的值和A的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，代入S中即可求出三角形ADC面積的最大值，又因為CD為三角形ABC的中線，所以由三角形ADC面積的最大值得到三角形ABC面積的最大值．
解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
設AB=AC=2a，由D是AB的中點，得到AD=DB=a，
在△ADC中，根據余弦定理得：cosA==，解得a²=，
設△ADC的面積為S，
則S=a•2a•sinA=a²sinA=  ①，
．下研究求面積的最值
法一：求導得：S′==，令S′=0，解得cosA=，
當cosA＜時，S′＞0，S單調遞增；當cosA＞時，S′＜0，S單調遞減，
所以S在cosA=處取極大值，且極大值為最大值，此時sinA=，
所以S的最大值為=1，
則△ABC的面積的最大值是2S=2．
法二：①式變形為5S-4ScosA=3sinA，可得5S=3sinA+4ScosA=sin（A+θ），其中tanθ=
故有5S≤解得S≤1，則△ABC的面積的最大值是2S=2
故答案為：2．
點評：此題考查學生靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，會利用導數求閉區(qū)間上函數的最大值，掌握等腰三角形的性質，是一道中檔題．