Question

已知等腰三角形腰上的中線長(zhǎng)為

3

，則該三角形的面積的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)出等腰三角形的腰長(zhǎng)為2a，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到AD等于a，在三角形ADC中，利用余弦定理表示出cosA，解出a²，然后根據(jù)三角形的面積公式表示出三角形ADC的面積，并設(shè)面積為S，對(duì)表示出的面積兩邊求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出cosA的值，由cosA的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值，且函數(shù)取得最大值時(shí)cosA的值，由cosA的值和A的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，代入S中即可求出三角形ADC面積的最大值，又因?yàn)镃D為三角形ABC的中線，所以由三角形ADC面積的最大值得到三角形ABC面積的最大值．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
設(shè)AB=AC=2a，由D是AB的中點(diǎn)，得到AD=DB=a，
在△ADC中，根據(jù)余弦定理得：cosA=

a2+4a2-3

2×a×2a

=

5a2-3

4a2

，解得a²=

3

5-4cosA

，
設(shè)△ADC的面積為S，
則S=

1

2

a•2a•sinA=a²sinA=

3sinA

5-4cosA

  ①，
．下研究求面積的最值
法一：求導(dǎo)得：S′=

3cosA(5-4cosA)-12sin2A

(5-4cosA)2

=

15cosA-12

(5-4cosA)2

，令S′=0，解得cosA=

4

5

，
當(dāng)cosA＜

4

5

時(shí)，S′＞0，S單調(diào)遞增；當(dāng)cosA＞

4

5

時(shí)，S′＜0，S單調(diào)遞減，
所以S在cosA=

4

5

處取極大值，且極大值為最大值，此時(shí)sinA=

3

5

，
所以S的最大值為

3× 3 5

5-4× 4 5

=1，
則△ABC的面積的最大值是2S=2．
法二：①式變形為5S-4ScosA=3sinA，可得5S=3sinA+4ScosA=

9+16S2

sin（A+θ），其中tanθ=

4S

3

故有5S≤

9+16S2

，
解得S≤1，
則△ABC的面積的最大值是2S=2
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值，掌握等腰三角形的性質(zhì)，是一道中檔題．