Question

下列幾個命題：
①“

a＞0 △=b2-4ac≤0

”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件；
②設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域為R，則函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
③若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則φ=

π

2

+kπ（k∈Z）；
④已知x∈（0，π），則y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

．  
其中正確的有（　�。�

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：①由一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R?

a＞0 △=b2-4ac≤0

，可判斷①的正誤；
②利用函數(shù)的對稱軸可判斷②的正誤；
③利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的奇偶性質(zhì)可判斷③的正誤；
④x∈（0，π）⇒0＜sinx≤1，令t=sinx（0＜t≤1），g（t）=t+

2

t

（0＜t≤1），利用雙鉤函數(shù)的單調(diào)性與最值可求得g（t）_min=g（1）=3，可判斷④的正誤．

解答： 解：①

a＞0 △=b2-4ac≤0

⇒一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R，即充分性成立；
反之，一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R，則

a＞0 △=b2-4ac≤0

，即必要性成立；
所以“

a＞0 △=b2-4ac≤0

”是“一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R”的充要條件，即①正確；
②設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域為R，則函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對稱，正確；
③若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則φ=

π

2

+kπ（k∈Z），正確；
④∵x∈（0，π），
∴0＜sinx≤1，令t=sinx（0＜t≤1），g（t）=t+

2

t

（0＜t≤1），當(dāng)0＜t≤1時，g′（t）=1-

2

t2

＜0，
雙鉤函數(shù)g（t）=t+

2

t

在（0，

2

]單調(diào)遞減，
∴g（t）_min=g（1）=3，
∴y=sinx+

2

sinx

的最小值為3，故④錯誤．  
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的對稱性、單調(diào)性及最值及恒成立問題，考查充分必要條件的概念，屬于中檔題．