設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足數(shù)學(xué)公式,且bn=ln(1+an數(shù)學(xué)公式,n∈N*.
(1)證明:數(shù)學(xué)公式
(2)記{an2},{bn}的前n項(xiàng)和分別為An,Bn,證明:2Bn-An<8.

解:(1)由知,an>0(n∈N*),故bn>0(n∈N*).,
設(shè)函數(shù),則當(dāng)x>0時(shí),,
∴f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)>f(0)=0,即bn-an>0,∴

設(shè)函數(shù)g(x)=ln(1+x)-x(x≥0),則當(dāng)x>0時(shí),,
∴g(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),故g(x)<g(0)=0,
∴l(xiāng)n(1+an)-an<0
綜上得:
(2)由得:,
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,
,
∵2bn-an2=2ln(1+an),由(1)的結(jié)論有l(wèi)n(1+an)<an,
∴2bn-an2<2an,

令Sn=,則,相減得:
,

分析:(1)可先證明,由題意易知an>0(n∈N*),故bn>0(n∈N*),故只要證bn-an>0即可,
結(jié)合題目條件可利用構(gòu)造函數(shù)證明.,也可構(gòu)造函數(shù)證明.
(2)由條件可得,可求出an用錯(cuò)位相減法求出An,再結(jié)合(1)中的關(guān)系比較大小即可.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用:利用函數(shù)單調(diào)性證明數(shù)列不等式,構(gòu)造函數(shù)需要較強(qiáng)的觀察能力,難度較大,綜合性強(qiáng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,前n項(xiàng)和是Sn,存在常數(shù)A,B使an+Sn=An+B對(duì)任意正整數(shù)n都成立.
(1)設(shè)A=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若p<q,且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
,求p,q的值.
(3)設(shè)A>0,A≠1,且
an
an+1
≤M
對(duì)任意正整數(shù)n都成立,求M的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0,4an+1=4an+2
4an+1
+1
,令bn=
4an+1

(1)試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列?并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令Tn=
b1×b3×b5×…×b(2n-1)
b2×b4×b6×…b2n
,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式Tn
bn+1
2
log2(a+1)
對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)比較bnbn+1bn+1bn的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1,2,3…,其中A,B為常數(shù).?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an=5n-4
an=5n-4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn
(1)證明:當(dāng)b=2時(shí),{an-n•2n-1}是等比數(shù)列;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=an+b(n∈N*,a>0).?dāng)?shù)列{bn}定義如下:對(duì)于正整數(shù)m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.
(1)若a=2,b=-3,求b10
(2)若a=2,b=-1,求數(shù)列{bm}的前2m項(xiàng)和公式.

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