已知f(x)是R上的奇函數(shù),且f(x+2)=-f(x),當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=x3.求x∈R時f(x)的解析式.
考點:函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和所給的等式,求出函數(shù)的周期和-3≤x≤-1上的解析式,再根據(jù)周期性和圖象平移法則求出函數(shù)在R上的解析式.
解答: 解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),且f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
∴f(x)是以4為最小正周期的周期函數(shù),
當(dāng)-3≤x≤-1時,則-1≤x+2≤1,
∵當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=x3,
∴f(x)=-f(x+2)═-(x+2)3
又∵f(x)是以4為最小正周期的周期函數(shù),
∴當(dāng)-1+4k≤x+4k≤1+4k(k∈Z)時,f(x)=f(x+4k)=(x+4k)3,
當(dāng)-3+4k≤x+4k≤-1+4k(k∈Z)時,則f(x)=f(x+4k)=-(x+2+4k)3
綜上得,f(x)=
(x+4k)3               -1+4k≤x+4k≤1+4k
-(x+2+4k)3     -3+4k≤x+4k≤-1+4k
,且(k∈Z).
點評:本題考查了函數(shù)奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用,以及轉(zhuǎn)化思想、圖象平移法則,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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已知正三棱柱ABC-A1B1C的底面邊長為4cm,高為7cm,則當(dāng)一質(zhì)點自點A出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1的路程最短時,質(zhì)點沿著側(cè)面的前進方向所在直線與底面ABC所成角的余弦值為
 

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已知函數(shù)f(x)=xsinx.
(1)判斷方程f(x)=1在(0,π)內(nèi)實根的個數(shù),并說明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排列為a1,a2,…an…,求證:
π
2
an+1-an<π(n∈N*)

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如圖,在三棱錐P-ABC中,△PAB是等邊三角形,∠PAC=∠PBC=90°.
(Ⅰ)證明:AC=BC;
(Ⅱ)證明:AB⊥PC;
(Ⅲ)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱錐P-ABC體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△ABC中,∠B=
π
2
,A(-2,0)、B(0,-2
2
),頂點C在x軸上,設(shè)圓M是△ABC的外接圓:
(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點O為坐標(biāo)原點,DE是圓M的任意一條直徑,試問
OD
OE
是否為定值?若是,求出定值并證明你的結(jié)論;若不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以AC的中點O為球心、AC為直徑的球面交PD于點M,交PC于點N.
(Ⅰ)求證:平面ABM⊥平面PCD;
(Ⅱ)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值;
(Ⅲ)求點N到平面ACM的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且tanA+tanB=
2sinC
cosA

(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)已知
a
c
+
c
a
=3,求sinAsinC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于如圖的程序框圖,若輸入x的值是5,則輸出y的值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

空間中,α,β,γ是三個互不重合的平面,l是一條直線,則下列命題中正確的是( 。
A、若α⊥β,l∥α,則l⊥β
B、若α⊥β,l⊥β,則l∥α
C、若l⊥α,l∥β,則α⊥β
D、若l∥α,l∥β,則α∥β

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