Question

已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若不等式在有解，求的取值范圍．

 

Answer 1

(1);(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

【解析】

試題分析：（1）任取x1、x2∈[2，+∞），且x1＜x2，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可知f（x2）-f（x1）＞0在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）將不等式f（x）≤kx中的k分離出來，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究不等式另一側(cè)函數(shù)在[，1]上的最小值，從而求出k的取值范圍．

（1）由題意，任取、，且，

則， 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720341059247464/SYS201411172034152176551146_DA/SYS201411172034152176551146_DA.013.png">，，所以，即， 4分

由，得，所以．所以，的取值范圍是． 6分

（2）由，得，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720341059247464/SYS201411172034152176551146_DA/SYS201411172034152176551146_DA.023.png">，所以， 7分

令，則，所以，令，，

于是，要使原不等式在有解，當(dāng)且僅當(dāng)（）． 9分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720341059247464/SYS201411172034152176551146_DA/SYS201411172034152176551146_DA.032.png">，所以圖像開口向下，對稱軸為直線，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720341059247464/SYS201411172034152176551146_DA/SYS201411172034152176551146_DA.035.png">，故當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，． 13分

綜上，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，． 14分．

考點(diǎn)：1．不等式的解法；2．奇偶性與單調(diào)性的綜合；3．兩點(diǎn)間的距離公式．．