Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，如果不等式f（1-m）＜f（m）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意知，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，在（-∞，1]是減函數(shù)，通過對m≥1與m≤1的討論，利用函數(shù)單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（1-x）=f（1+x），
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
又f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，1]是減函數(shù)，
∴f（1-m）＜f（m）?f（1+m）＜f（m），
∵m≤1+m恒成立，
∴當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，故f（1+m）＞f（m），即f（1-m）＞f（m）與題意不符；
當(dāng)m≤1時(shí)，f（x）在（-∞，1]是減函數(shù)，要使f（1-m）＜f（m）成立，
必須

m≤1 1-m＞m

，解得m＜

1

2

．
故答案為：（-∞，

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用．考查分類討論思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．