Question

ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD，PA=a，
（1）求證：PC⊥CD；
（2）求點(diǎn)B到直線PC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，由勾股定理可得AC⊥CD，由線面垂直的性質(zhì)定理可得：PA⊥CD，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAC，進(jìn)而得到PC⊥CD；
（2）由已知可得△PBC為Rt△，∠PBC=90°，進(jìn)而利用等積法可求得點(diǎn)B到直線PC的距離．

解答： 證明：（1）連結(jié)AC，

∵∠ABC=90°，AB=BC=a，
由勾股定理得AC=

2

a，
同理CD=

2

a，
又∵AD=2a，
∴△ACD是直角三角形．
即AC⊥CD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC，PA?PAC，AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，
又由PC?平面PAC，
∴PC⊥CD．
（2）在Rt△PAB中，PA=AB=a，
∴PB=

2

a，
在Rt△PAC中，AC=

2

a，
∴PC=

3

a，
又∵BC=a，
故△PBC為Rt△，∠PBC=90°，
令點(diǎn)B到直線PC的距離為h，
則

1

2

PC•h=

1

2

PB•BC，
∴h=

PB•BC

PC

=

2 a•a

3 a

=

6

3

a，
即點(diǎn)B到直線PC的距離為

6

3

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．