Question

已知函數(shù)f（x）=x+

3a2

x

-2alnx在區(qū)間（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：常規(guī)題型,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上大于等于0恒成立問題，然后把恒成立轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)的最小值大于等于0．

解答： 解：∵f′（x）=1-

3a2

x2

-

2a

x

=

x2-2ax-3a2

x2

  要使函數(shù)f（x）=x+

3a2

x

-2alnx在區(qū)間（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，需f′（x）≥0在（1，2）上恒成立；
  即

x2-2ax-3a2

x2

≥0在（1，2）上恒成立，
  即x²-2ax-3a²≥0在（1，2）上恒成立，
  設(shè)h（x）=x²-2ax-3a²，則它的對稱軸為x=a，
  ①當(dāng)a≤1時，h（1）=1-2a-3a²≥0，解得-1≤a≤

1

3

；
  ②當(dāng)1＜a＜2時，△=4a²+12a²≤0，a不存在；
  ③當(dāng)a≥2時，h（2）=4-4a-3a²≥0，a不存在；
綜上可知，a的取值范圍是-1≤a≤

1

3

．
故答案為：-1≤a≤

1

3

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，重點考查了轉(zhuǎn)化思想與分類討論的思想；關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化成求最值問題解決．