Question

1．正項等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+…+a₅=27，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{5}}$=3，則a₃=3．

Answer 1

分析 設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用a₁+a₂+…+a₅=27，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{5}}$=3，可得$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{q}+{a}_{3}+{a}_{3}q+{a}_{3}{q}^{2}$=27，$\frac{{q}^{2}}{{a}_{3}}+\frac{q}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}q}+\frac{1}{{a}_{3}{q}^{2}}$=3，兩式相除，可得a₃．

解答 解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則
∵a₁+a₂+…+a₅=27，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{5}}$=3，
∴$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{q}+{a}_{3}+{a}_{3}q+{a}_{3}{q}^{2}$=27，$\frac{{q}^{2}}{{a}_{3}}+\frac{q}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}q}+\frac{1}{{a}_{3}{q}^{2}}$=3，
兩式相除，可得${{a}_{3}}^{2}$=9，
∵a₃＞0，
∴a₃=3
故答案為：3．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項，考查學生的計算能力，比較基礎．