Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|=2

2

，|BC|=2．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，已知

OR

=λ

OF

，

CR′

=λ

CF

，其中0＜λ＜1．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：

x2

2

+y²=1上；
（Ⅱ）若點N是直線l：y=x+2上且不在坐標軸上的任意一點，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF₁和NF₂與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率k_OP、k_OQ、k_OS、k_OT滿足k_OP+k_OQ+k_OS+k_OT=0？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知，得F（

2

，0），C（

2

，1），R（

2

λ，0），R′（

2

，1-λ），E（0，-1），G（0，1），由此求出直線ER的方程和直線GR′的方程，從而能夠證明直線ER與GR′的交點為M在橢圓Γ上．
（Ⅱ）假設滿足條件的點N（x₀，y₀）存在，則直線NF₁：y=k₁（x+1），直線NF₂：y=k₂（x-1），由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，求出k_OP+k_OQ=-

2k1

k12-1

．同理，kOS+kOT=-

2k2

k22-1

，由此能求出滿足條件的點N存在，其坐標為（-

5

4

，

3

4

）．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）證明：由已知，得F（

2

，0），C（

2

，1）．
由

OR

=λ

OF

，

CR′

=λ

CF

，得R（

2

λ，0），R′（

2

，1-λ）．
又E（0，-1），G（0，1），則
直線ER的方程為y=

1

2 λ

x-1，①
直線GR′的方程為y=-

λ

2

x+1． ②
由①②，得M（

2 2 λ

1+λ2

，

1-λ2

1+λ2

）．
∵

[ 2 2 1+λ2 ]2

2

+(

1-λ2

1+λ2

)2=

4λ2+(1-λ2)2

(1+λ2)2

=

(1+λ2)2

(1+λ2)2

=1，
∴直線ER與GR′的交點為M在橢圓Γ：

x2

2

+y²=1上．
（Ⅱ）解：假設滿足條件的點N（x₀，y₀）存在，
則直線NF₁：y=k₁（x+1），其中k1=

y0

x0+1

，
直線NF₂：y=k₂（x-1），其中k2=

y0

x0-1

，
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，消去y并化簡，得（2k12+1）x²+4k12x+2k^₁2-2=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

4k12

2k12+1

，x1x2=

2k12-2

2k12+1

，
∵OP，OQ的斜率存在，∴x₁≠0，x₂≠0，∴k12≠1，
∴k_OP+k_OQ=

y1

x1

+

y2

x2

=

k1(x1+1)

x1

+

k1(x2+1)

x2

=2k₁+k₁•

x1+x2

x1x2

=k1(2-

4k12

2k12-2

)=-

2k1

k12-1

．
同理，得kOS+kOT=-

2k2

k22-1

，
∴k_OP+k_OQ+k_OS+k_OT
=-2(

k1

k12-1

+

k2

k22-1

)
=-2•

k1k22-k1+k12k2-k2

(k12-1)(k22-1)

=-

2(k1+k2)(k1k2-1)

(k12-1)(k22-1)

，
∵k_OP+k_OQ+k_OS+k_OT=0，
∴-

2(k1+k2)(k1k2-1)

(k12-1)(k22-1)

=0，即（k₁+k₂）（k₁k₂-1）=0，
由點N不在坐標軸上，知k₁+k₂≠0，
∴k₁k₂=1，即

y0

x0+1

•

y0

x0-1

=1，③
又y₀=x₀+2，④
解③④得x0=-

5

4

，y0=

3

4

，
∴滿足條件的點N存在，其坐標為（-

5

4

，

3

4

）．

點評：本題考查兩直線交點在橢圓上的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意直線斜率公式的靈活運用．