Question

已知函數(shù)f（x）=x³+

3

2

（a-1）x²-3ax+1，x∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，2]上的最大值為28，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后分a=-1，a＞-1和a＜-1把函數(shù)的定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把a(bǔ)=3代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把定義域分段后列表分析原函數(shù)的單調(diào)性并求出極值，結(jié)合函數(shù)的極值及函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，2]上的最大值為28求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+

3

2

（a-1）x²-3ax+1，得：
f′（x）=3x²+3（a-1）x-3a=3（x-1）（x+a）．
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-a．
①當(dāng)-a=1，即a=-1時(shí)，f′（x）=3（x-1）²≥0，
f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)-a＜1，即a＞-1時(shí)，
當(dāng)x＜-a或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-a），（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
當(dāng)-a＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-a，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
③當(dāng)-a＞1，即a＜-1時(shí)，
當(dāng)x＜1或x＞-a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
當(dāng)1＜x＜-a時(shí)f′（x）＜0，f（x）在（1，-a）內(nèi)單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
f（x）在（1，-a）內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞-1時(shí)，f（x）在（-∞，-a），（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，f（x）在（-a，1）內(nèi)單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x³+3x²-9x+1，x∈[m，2]，
f′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=-3．
將x，f′（x），f（x）變化情況列表如下：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

由此表可得，f（x）_極大值=f（-3）=28，f（x）_極小值=f（1）=-4．
又f（2）=3＜28，
故區(qū)間[m，2]內(nèi)必須含有-3，即m的取值范圍是（-∞，-3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．