Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知S2=6，an+1=4Sn+1，n∈N* ．
（1）求通項(xiàng)an；
（2）設(shè)bn=an﹣n﹣4，求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1=4Sn+1，①

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=4Sn﹣1+1，②

由①﹣②，得

an+1﹣an=4（Sn﹣Sn﹣1）=4an（n≥2），

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=5an（n≥2），

∴ =5．

∵S2=6，an+1=4Sn+1，n∈N*．

∴ ，

解得 ，

∴ =5，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1，公比為5的等邊數(shù)列，

∴an=5n﹣1；

（2）解：由題意知|bn|=|5n﹣1﹣n﹣4|，n∈N*．

易知，當(dāng)n≤2時(shí)，5n﹣1＜n+4；當(dāng)n≥3時(shí)，5n﹣1＞n+4．

∴當(dāng)n≤2時(shí)，|bn|=n+4﹣5n﹣1；

當(dāng)n≥3時(shí)，|bn|=5n﹣1﹣（n+4），

∴T1=b1=4，T2=b1+b2=5．

當(dāng)n≥3時(shí)，Tn=T2+b2+b3+…+bn

=5+[52﹣（3+4）+[52﹣（4+4）]+…+[5n﹣1﹣（n+4）]

=5+（52+53+…+5n﹣1）﹣[（3+4）+（4+4）+…+（n+4）]

=5+ ﹣

= ．

又∵T1=4不滿足上式，T2=5滿足上式，

∴Tn=

【解析】（1）利用已知條件和變形等式an=4Sn﹣1+1推知數(shù)列{an}是等邊數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行解答；（2）利用（1）中的通項(xiàng)公式推知{|bn|}的通項(xiàng)公式．然后由分組求和法來求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．