Question

【題目】如圖，四邊形中， ， ， ， ， 、分別在、上， ，現將四邊形沿折起，使平面平面．

（）若，是否存在折疊后的線段上存在一點，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

（）求三棱錐的體積的最大值，并求此時點到平面的距離．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)存在，使得平面，此時，即，利用幾何關系可知四邊形為平行四邊形，則，利用線面平行的判斷定理可知平面成立．

(2)由題意可得三棱錐的體積，由均值不等式的結論可知時，三棱錐的體積有最大值，最大值為．

建立空間直角坐標系，則，平面的法向量為，故點到平面的距離．

試題解析：

（）存在，使得平面，此時．

證明：當，此時，

過作，與交，則，

又，故，

∵， ，

∴，且，故四邊形為平行四邊形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面成立．

（）∵平面平面， 平面， ，

∴平面，

∵，

∴， ， ，

故三棱錐的體積，

∴時，三棱錐的體積有最大值，最大值為．

建立如圖所示的空間直角坐標系，則， ， ， ．

， ， ．

設平面的法向量為，則，

∴，取，則， ，

∴．

∴點到平面的距離．