Question

13．如圖，三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，即：PA⊥PB、PB⊥PC、PC⊥PA，且PO⊥平面ABC并交平面ABC于點(diǎn)O，請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)O是△ABC的什么心（內(nèi)心、外心、垂心、重心、中心等）？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 本題是立體幾何中一道證明題，點(diǎn)P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足為O，從而證得BC⊥AE、AB⊥CF，符合這一性質(zhì)的點(diǎn)O是△ABC垂心．

解答 解：垂心，（2分）
證明如下：
連接AO交BC于點(diǎn)E，連接PE，連接CO交AB于點(diǎn)F，
PA⊥PB、PC⊥PA，PB∩PC=P，故PA⊥平面PBC，
BC?平面PBC，故PA⊥BC，①（6分）
由PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，故PO⊥BC，②
由①②及PA∩PO=P，故有BC⊥平面PAE，（11分）
AE?平面PAE，故BC⊥AE，（12分）
同理：AB⊥CF，
因而點(diǎn)O是△ABC的垂心．（14分）
〖注〗來(lái)自課本

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．