Question

1．設(shè)f（x）=2cosx（cosx-sinx）+sin2x，x∈R．
（1）求該函數(shù)的最小正周期；
（2）請(qǐng)你限定一個(gè)閉區(qū)間D，求函數(shù)y=f（x），x∈D的反函數(shù)y=f^-1（x），并指出y=f^-1（x）的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)．（不必證明）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，得到f（x）=cos2x+1，根據(jù)周期的定義即可求出，
（2）設(shè)f（x）=1+cos2x的一個(gè)閉區(qū)間D為[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求出y=f^-1（x），并畫(huà)出，由圖象得到答案，

解答 解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+sin2x=2cos²x-2sinxcos+sin2x=2cos²x=1+cos2x，
T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴f（x）的最小正周期為π，
（2）設(shè)f（x）=1+cos2x的一個(gè)閉區(qū)間D為[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
反函數(shù)y=f^-1（x）=$\frac{1}{2}$arccos（x-1），x∈[0，2]，其圖象如圖所示，
y=f^-1（x）為非奇非偶函數(shù)，在[0，2]上單調(diào)遞減，零點(diǎn)為x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形函數(shù)的化簡(jiǎn)和周期的求法以及反函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．