Question

如圖，在多面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，BA⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG且AC=1，AB=ED=EF=2，AD=DG=4．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面DEFG；
（Ⅱ）求證：BF∥平面ACGD；
（Ⅲ）求二面角F-BC-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面ABCD∥平面DEFG，證出AB∥DE．結(jié)合題意，得ADEB為平行四邊形，所以BE∥AD．而AD⊥平面DEFG，得到BE⊥平面DEFG；
（Ⅱ）取DG的中點(diǎn)為M，連接AM、FM．結(jié)合題中位置關(guān)系和長度數(shù)據(jù)，證出AB∥FM且AB=FM，所以四邊形ABFM是平行四邊形，得BF∥AM，再結(jié)合線面平行的判定定理，可得BF∥平面ACGD；
（Ⅲ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面FBC的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F-BC-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，平面DEFG∩平面ADEB=DE，
∴AB∥DE…（1分）
又∵AB=DE，∴四邊形ADEB為平行四邊形，
∴BE∥AD…（2分）
∵AD⊥面DEFG，∴BE⊥平面DEFG．…（3分）
（Ⅱ）證明：設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM，MF，則DM=

1

2

DG=2，
∵EF=2，EF∥DG，∴四邊形DEFM是平行四邊形…（4分）
∴MF=DE且MF∥DE，
由（Ⅰ）知，ADEB為平行四邊形，
∴AB=DE且AB∥DE，∴AB=MF且AB∥MF，
∴四邊形ABFM是平行四邊形，…（5分）
即BF∥AM，
又BF?平面ACGD，故 BF∥平面ACGD；…（6分）
（Ⅲ）解：由已知，AD，DE，DG兩兩垂直，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則A（0，0，4），B（2，0，4），C（0，1，4），F(xiàn)（2，2，0）
∴

BF

=(0，2，-4)，

BC

=(-2，1，0)
設(shè)平面FBC的法向量為

n1

=（x，y，z），
則

n1 • BF =2y-4z=0 n1 • BC =-2x+y=0

，
令z=1，則

n1

=（-1，-2，1），
而平面ABC的法向量

n2

=

DA

=(0，0，4)
∴cos＜

n1

，

n2

＞

4

1+4+1 ×4

=

6

6

由圖形可知，二面角F-BC-A的余弦值-

6

6

．…（12分）

點(diǎn)評：本題給出特殊的六面體，求證線面平行、線面垂直并且求二面角F-BC-A的余弦值．考查了線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)和向量等知識，屬于中檔題．