Question

11．若f（cosx）=coskx（k∈Z），則f（sinx）=sinkx，則整數(shù)k應(yīng)滿足的條件為k=4n+1，n∈Z．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得f（sinx）=f（cos（$\frac{π}{2}$-x））=cosk（$\frac{π}{2}$-x），再由兩角差的余弦公式，化簡整理，即可得到所求k的條件．

解答 解：f（cosx）=coskx（k∈Z），
則f（sinx）=f（cos（$\frac{π}{2}$-x））=cosk（$\frac{π}{2}$-x）
=cos（$\frac{kπ}{2}$-kx）=sinkx，
即有cos$\frac{kπ}{2}$coskx+sin$\frac{kπ}{2}$sinkx=sinkx，
即有sin$\frac{kπ}{2}$=1，cos$\frac{kπ}{2}$=0，
則$\frac{kπ}{2}$=2nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z，
即為k=4n+1，n∈Z．
故答案為：k=4n+1，n∈Z．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式的運(yùn)用，屬于中檔題．