Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-3，3），函數(shù)g（x）=f（2x-1）+f（x-3）．
（1）求函數(shù)g（x）的定義域；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞減，求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知，

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3

，解此不等式組得出函數(shù)g（x）的定義域．
（2）等式g（x）≤0，即  f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），有

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3 2x-1≥3-x

，解此不等式組，
可得結(jié)果．

解答： 解：（1）∵數(shù)f（x）的定義域為（-3，3），函數(shù)g（x）=f（2x-1）+f（x-3）．
∴

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3

，
∴0＜x＜2，
函數(shù)g（x）的定義域（0，2）．
（2）∵f（x）是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不等式g（x）≤0，
∴f（2x-1）≤-f（x-3）=f（3-x），
∴

-3＜2x-1＜3 -3＜x-3＜3 2x-1≥3-x

，
∴

4

3

≤x＜2，
故不等式g（x）≤0的解集是[

4

3

，2）．

點評：本題考查函數(shù)的定義域的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于基礎(chǔ)題．