Question

對于每個非零自然數(shù)n，拋物線y=x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

與x軸交于A_n、B_n兩點(diǎn)，以A_nB_n表示這兩點(diǎn)間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄的值是（　�。�

• A、

  2014

  2013

• B、

  2013

  2014

• C、

  2015

  2014

• D、

  2014

  2015

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出方程x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0的兩個解是A_n、B_n兩點(diǎn)，從而得到A_nB_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄的值．

解答： 解：拋物線y=x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

與x軸交點(diǎn)，
就是方程x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0的兩個解，
∵拋物線y=x²-

2n+1

n2+n

x+

1

n2+n

與x軸交于A_n、B_n兩點(diǎn)，
∴x₁=A_n=

1

n

，
x₂=B_n=

1

n+1

，
∴A_nB_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₄B₂₀₁₄
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2014

-

1

2015

）
=1-

1

2015

=

2014

2015

．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查距離之和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．