【題目】如圖，已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn).A（-a，0），|AF|=3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M.直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點(diǎn)E.求證：∠ODF=∠OEF.

【答案】.（I）；（II）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為， ，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的方程為： ，將其代入橢圓方程，整理得，根據(jù)韋達(dá)定理可得（， ），直線的方程是，令，得，同理可得，根據(jù)斜率公式可得在和中， 和都與互余，所以.

試題解析：（I）設(shè)橢圓C的半焦距為c.依題意，得

，a+c=3. 解得a=2，c=1.

所以b2=a2-c2=3，所以橢圓C的方程是

（II）由（I）得A（-2，0）.設(shè)AP的中點(diǎn)M（x0，y0），P（x1，y1）.

設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），將其代入橢圓方程，整理得

（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，

所以-2+x1=.

所以x0=，y0=k（x0+2）=，

即M（， ）.

所以直線OM的斜率是，

所以直線OM的方程是y=-x.令x=4，得D（4，-）.

直線OE的方程是y=kx.令x=4，得E（4，4k）.

由F（1，0），得直線EF的斜率是=，所以EF⊥OM，記垂足為H；

因?yàn)橹本�DF的斜率是=，所以DF⊥OE，記垂足為G.

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，

所以∠ODF=∠OEF.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E為AB的中點(diǎn)．將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P，則三棱錐PDCE的外接球的體積為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】目前我國城市的空氣污染越來越嚴(yán)重，空氣質(zhì)量指數(shù)一直居高不下，對人體的呼吸系統(tǒng)造成了嚴(yán)重的影響，現(xiàn)調(diào)查了某城市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康，得到列聯(lián)表如下：

室外工作

室內(nèi)工作

合計(jì)

有呼吸系統(tǒng)疾病

150

無呼吸系統(tǒng)疾病

100

合計(jì)

200

（Ⅰ）請把列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（Ⅱ）你是否有95%的把握認(rèn)為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場所有關(guān)；

（Ⅲ）現(xiàn)采用分層抽樣從室內(nèi)工作的居民中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中隨機(jī)抽取2人，求2人都有呼吸系統(tǒng)疾病的概率.

參考公式與臨界表：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中，為了解居民對“創(chuàng)文”的滿意程度，組織居民給活動(dòng)打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)．滿分為100分）．從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為120的樣本．發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)均在內(nèi)．現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，回答下列問題：

（1）算出第三組的頻數(shù)．并補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

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【題目】設(shè)n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.

(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；

(2)證明：對任意正整數(shù)n，f(n)是8的倍數(shù).

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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，且.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為50%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員四次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8 9表示不命中；再以每四個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表四次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832 4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員四次投籃恰有兩次命中的概率為____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和長軸長;

（Ⅱ）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn), 為直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線交橢圓于,記分別為點(diǎn)和到直線的距離,證明.

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