【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)當時,記函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長度為,所有單調(diào)遞減區(qū)間的長度為,證明:.(注:區(qū)間長度指該區(qū)間在軸上所占位置的長度,與區(qū)間的開閉無關(guān).)
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)首先求函數(shù)的導數(shù),然后判斷函數(shù)的單調(diào)性,最后求最值;
(2)根據(jù)(1)首先求函數(shù)的零點,從而去掉的絕對值,分段求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最后再比較單調(diào)區(qū)間的長度.
解(1)因為,所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,
所以.
(2)由(1)可知,在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增
又,,
所以存在,使得,
則當時,,當時,
所以,
記,
當時,,所以
在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
當或時,
當時即在單調(diào)遞增.
因為,所以
則當時,令,有
所以當時,,在單調(diào)遞減
綜上,在與單調(diào)遞減,在與單調(diào)遞增.
所以,又
所以,即
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{}的前項和為Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).
(1)若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的通項公式;
(2)令,求數(shù)列{}的前n項和Tn.
(3) ,(n為正整數(shù)),問是否存在非零整數(shù),使得對任意正整數(shù)n,都有若存在,求的值,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】鐵人中學高二學年某學生對其親屬30人飲食習慣進行了一次調(diào)查,并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù).(說明:圖中飲食指數(shù)低于70的人,飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的人,飲食以肉類為主.)
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,幫助這位學生說明其親屬30人的飲食習慣;
(Ⅱ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列的列聯(lián)表:
主食蔬菜 | 主食肉類 | 合計 | |
50歲以下人數(shù) | |||
50歲以上人數(shù) | |||
合計人數(shù) |
(Ⅲ)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)系?
附:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每輪游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每輪游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,且各次擊鼓是否出現(xiàn)音樂相互獨立.
(1)玩三輪游戲,至少有一輪出現(xiàn)音樂的概率是多少?
(2)設每輪游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橢圓的左、右焦點為,離心率為,已知過軸上一點作一條直線:,交橢圓于兩點,且的周長最大值為8.
(1)求橢圓方程;
(2)以點為圓心,半徑為的圓的方程為.過的中點作圓的切線,為切點,連接,證明:當取最大值時,點在短軸上(不包括短軸端點及原點).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】供電部門對某社區(qū)位居民2017年12月份人均用電情況進行統(tǒng)計后,按人均用電量分為, , , , 五組,整理得到如下的頻率分布直方圖,則下列說法錯誤的是
A. 月份人均用電量人數(shù)最多的一組有人
B. 月份人均用電量不低于度的有人
C. 月份人均用電量為度
D. 在這位居民中任選位協(xié)助收費,選到的居民用電量在一組的概率為
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校研究性學習小組調(diào)查學生使用智能手機對學習成績的影響,詢問了 30 名同學,得到如下的 列聯(lián)表:
使用智能手機 | 不使用智能手機 | 總計 | |
學習成績優(yōu)秀 | 4 | 8 | 12 |
學習成績不優(yōu)秀 | 16 | 2 | 18 |
總計 | 20 | 10 | 30 |
(Ⅰ)根據(jù)以上列聯(lián)表判斷,能否在犯錯誤的概率不超過 0.005 的前提下認為使用智能手機對學習成績有影響?
(Ⅱ)從使用學習成績優(yōu)秀的 12 名同學中,隨機抽取 2 名同學,求抽到不使用智能手機的人數(shù)的分布列及數(shù)學期望.智能手機的 20 名同學中,按分層抽樣的方法選出 5 名同學,求所抽取的 5 名同學中“學習成績優(yōu)秀”和“學習成績不優(yōu)秀”的人數(shù);
(Ⅲ)從問題(Ⅱ)中倍抽取的 5 名同學,再隨機抽取 3 名同學,試求抽取 3 名同學中恰有 2 名同學為“學習成績不優(yōu)秀”的概率.
參考公式:,其中
參考數(shù)據(jù):
0.05 | 0,。025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是某班級50名學生訂閱數(shù)學、語文、英語學習資料的情況,其中A表示訂閱數(shù)學學習資料的學生,B表示訂閱語文學習資料的學生,C表示訂閱英語學習資料的學生
(1)從這個班任意選擇一名學生,用自然語言描述1,4,5,8各區(qū)域所代表的事件;
(2)用A,B,C表示下列事件:
①恰好訂閱一種學習資料;
②沒有訂閱任何學習資料.
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