【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若,求在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）若存在兩個極值點(diǎn)，求的最小值.

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求 ，代入切線方程 ；（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，分，和 討論，在 時再分和 兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果計算 ，設(shè) ，轉(zhuǎn)化為在的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間的最小值.

試題解析：解:（Ⅰ）時,

所以 ,

所以在點(diǎn)處的切線方程為

（Ⅱ）

的的對稱軸為

當(dāng)即時,方程無解,

在恒成立,所以在單增

當(dāng)即時,方程有相等的實(shí)數(shù)解,

在恒成立,所以在單增

當(dāng)即時,方程有解,

解得

當(dāng)時, ,解不等式

所以在單增,在單減

當(dāng)時, ,解不等式

所以在單增,在單減 ,在和單增,

綜上所得:，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

單調(diào)遞增；，單調(diào)遞增

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知當(dāng)時函數(shù)有兩個極值點(diǎn),且為方程

的兩個根, ,

令,則問題轉(zhuǎn)化為在的最值.

又∵且

,

所以在,所以當(dāng)時最小

∴

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(2)設(shè)向左平移個單位長度后得到,到的交點(diǎn)為, ,求的長.

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