Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于點(diǎn)P，Q．
（Ⅰ）若|PF|=3（點(diǎn)P在第一象限），求直線l的方程；
（Ⅱ）求證：

OP

•

OQ

為定值（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），由題意，x₀＞0，且y₀＞0．由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離為3，從而求出P（2，2

2

），由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x=my+1．由

x=my+1 y2=4x

，得y²-4my-4=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能證明

OP

•

OQ

為定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于點(diǎn)P，Q，
∴設(shè)P（x₀，y₀），由題意，x₀＞0，且y₀＞0．
∵點(diǎn)P在拋物線C上，且|PF|=3，
∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離為3．
∴x₀+1=3，解得x₀=2．…（2分）
又∵y02=4x0，y₀＞0，
∴y0=2

2

，∴P（2，2

2

），
∵F（1，0），…（4分）
∴直線l的方程為y=2

2

（x-1），即y=2

2

x-2

2

．…（5分）
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為：x=my+1．
由

x=my+1 y2=4x

，得y²-4my-4=0．…（7分）
△=16m²+16＞0恒成立．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

y1+y2=4m y1•y2=-4.

，…（9分）
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂
=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=-4（m²+1）+4m²+1
=-3．
∴

OP

•

OQ

=-3為定值．…（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．