【題目】已知,若點A為函數(shù)上的任意一點,點B為函數(shù)上的任意一點.

(1)求AB兩點之間距離的最小值;

(2)若A,B為函數(shù)與函數(shù)公切線的兩個切點,求證:這樣的點B有且僅有兩個,且滿足條件的兩個點B的橫坐標互為倒數(shù).

【答案】(1).(2)證明見解析

【解析】

1)由于互為反函數(shù),即函數(shù)圖象關于y=x對稱,且在點(0,1)處的切線為y=x+1在點(10)的切線為y=x-1,所以A,B兩點之間的距離的最小值即為(01)(1,0)之間的距離;

2A處的切線為B 處的切線為,由于它們是,公切線 ,所以,聯(lián)立消得,,最后令,證,有且僅有兩個解,且兩個解互為倒數(shù)即可.

(1)解:由,則在點(0,1)處的切線為y=x+1,

,則在點(1,0)的切線為y=x-1

由于互為反函數(shù),即函數(shù)圖象關于y=x對稱如圖,

故而A,B兩點之間的距離的最小值即為(0,1)與(1,0)之間的距離,

所以A,B兩點之間的距離的最小值為.

(2)設A ,B

A處的切線為,即

B 處的切線為,即,

所以,則,

要證這樣的點B有且僅有兩個,需證上式有且有兩個解,

,下證有且僅有兩個解,

,因為單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞增,

,,故存在唯一的,使得,

故而,當時,,單調(diào)遞減;

時,,單調(diào)遞增;

,

所以上有唯一的根;

,由,則,

,

上有唯一的根,

所以有且僅有兩個解,

綜上所述,這樣的點B有且僅有兩個,且滿足條件的兩個點B的橫坐標互為倒數(shù).

練習冊系列答案
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(I)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表:

患病

未患病

總計

服用藥

沒服用藥

總計

(II)能否有99%的把握認為藥物有效?并說明理由.

附:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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【題目】小明家的晚報在下午任何一個時間隨機地被送到,他們一家人在下午任何一個時間隨機地開始晚餐.為了計算晚報在晚餐開始之前被送到的概率,某小組借助隨機數(shù)表的模擬方法來計算概率,他們的具體做法是將每個1分鐘的時間段看作個體進行編號,編號為01,編號為02,依此類推,編號為90.在隨機數(shù)表中每次選取一個四位數(shù),前兩位表示晚報時間,后兩位表示晚餐時間,如果讀取的四位數(shù)表示的晚報晚餐時間有一個不符合實際意義,視為這次讀取的無效數(shù)據(jù)(例如下表中的第一個四位數(shù)7840中的78不符合晚報時間).按照從左向右,讀完第一行,再從左向右讀第二行的順序,讀完下表,用頻率估計晚報在晚餐開始之前被送到的概率為  

7840 1160 5054 3139 8082 7732 5034 3682 4829 4052

4201 6277 5678 5188 6854 0200 8650 7584 0136 7655

A.B.C.D.

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【題目】某研究機構對高三學生的記憶力和判斷力進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù):

6

8

10

12

2

3

5

6

(1)請在圖中畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;

(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預測記憶力為9的同學的判斷力.

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