Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)（a_n+1，S_n）在3x+2y-3=0直線上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{3}^{n}}$}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可得 3a_n+1+2S_n-3=0，可得n≥2時(shí)，3a_n+2S_n-1-3=0，相減可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$（n≥2）．由此可得{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）先求出s_n=$\frac{3[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{2}$，若數(shù)列{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{3}^{n}}$}為等差數(shù)列，則由第二項(xiàng)的2倍等于第一項(xiàng)加上第三項(xiàng)，求出λ=$\frac{3}{2}$，經(jīng)檢驗(yàn)λ=$\frac{3}{2}$時(shí)，此數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故滿足數(shù)列為等差數(shù)列，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得：3a_n+1+2S_n-3=0       ①
n≥2時(shí)，3a_n+2S_n-1-3=0                   ②…（1分）
①─②得3a_n+1-3a_n+2a_n=0，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$（n≥2），…（4分）a₁=1，3a₂+a₁-3=0，
∴a₂=$\frac{1}{3}$                     …（5分）
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1    …（6分）
（2）由（1）知S_n=$\frac{3[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{2}$                           …（8分）
若{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{3}^{n}}$=0}為等差數(shù)列，
S₁+λ+$\frac{λ}{3}$，S₂+λ•2+$\frac{λ}{{3}^{2}}$，S₃+λ•3+$\frac{λ}{{3}^{3}}$則成等差數(shù)列，…（10分）
2（S₂+$\frac{19}{9}λ$）=S₁+$\frac{4}{3}λ$+S₃+$\frac{82}{27}λ$，得：λ=$\frac{3}{2}$
又λ=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_n+$\frac{3}{2}$•n+$\frac{3}{2•{3}^{n}}$=$\frac{3（n+1）}{2}$，顯然{$\frac{3（n+1）}{2}$}成等差數(shù)列，
故存在實(shí)數(shù)λ=$\frac{3}{2}$，使得數(shù)列{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{3}^{n}}$}成等差數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差關(guān)系的確定，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)，屬于中檔題．