Question

6．給出下列命題：①若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，則（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；②已知$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow$=3$\overrightarrow{e}$，則$\overrightarrow{a}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow$；③若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$≠$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow$|；④△ABC中，AD是BC邊上的中線，則$\overline{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，其中正確的序號是①③④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是相等向量或相反向量，判斷（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）正確；
②又平面向量的線性運算，得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$數(shù)量關系；
③根據(jù)題意得出$\overrightarrow$=-3$\overrightarrow{a}$，即得|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow$|；
④畫出圖形，結合圖形，得出$\overline{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$正確．

解答 解：對于①，當$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|時，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是相等向量或相反向量，
∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），①正確；
對于②，∵$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow$=3$\overrightarrow{e}$，∴$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，②錯誤；
對于③，∵$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，∴$\overrightarrow$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=-3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=-3$\overrightarrow{a}$，
又$\overrightarrow{{e}_{1}}$≠$\overrightarrow{{e}_{2}}$，∴|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow$|，③正確；
對于④，△ABC中，AD是BC邊上的中線，如圖所示，

∴$\overline{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，④正確．
綜上，以上正確的命題序號是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了平面向量的線性運算與幾何意義的應用問題，是基礎題目．