Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，其前n項和為S_n，若直線y=$\frac{1}{2}$a₁x+m與圓（x-2）²+y²=1的兩個交點關(guān)于直線x+y-d=0對稱，則數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100項和=（　　）

• A． $\frac{100}{101}$
• B． $\frac{99}{100}$
• C． $\frac{98}{99}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用直線y=$\frac{1}{2}$a₁x+m與圓（x-2）²+y²=1的兩個交點關(guān)于直線x+y-d=0對稱，可得a₁=2，d=2，利用等差數(shù)列的求和公式求出S_n，再用裂項法即可得到結(jié)論．

解答 解：∵直線y=$\frac{1}{2}$a₁x+m與圓（x-2）²+y²=1的兩個交點關(guān)于直線x+y-d=0對稱，
∴a₁=2，2-d=0
∴d=2
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+n
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100項和為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故選：A．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的對稱性，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．