Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若a≠0，討論方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=2時(shí)，f（x）=

1

2

x²-2lnx，從而f′（x）=x-

2

x

，求出k=f′（1）=-1，和f（1）=

1

2

，進(jìn)而求出切線方程，
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，則f′（x）=x-

a

x

≥0在x∈（1，+∞）恒成立，即a≤x²在x∈（1，+∞）恒成立，故a≤1，
（3）f′（x）=x-

a

x

，分別討論①a＜0時(shí)②a＞0時(shí)的情況，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=

1

2

x²-2lnx，
∴f′（x）=x-

2

x

，
∴k=f′（1）=-1，
又∵f（1）=

1

2

，
∴函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：
2x+2y-3=0，
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
則f′（x）=x-

a

x

≥0在x∈（1，+∞）恒成立，
即a≤x²在x∈（1，+∞）恒成立，
故a≤1，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
∴a≤1；
（3）f′（x）=x-

a

x

，
①a＜0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
取x₁=1，x₂=e

1

e

，
由f（1）＞0，f（e

1

e

）＜0，
得a＜0時(shí)，方程f（x）=0有唯一解，
②a＞0時(shí)，f′（x）=x-

a

x

=

(x+ a )(x- a )

x

，
∴f（x）在（0，

a

）遞減，在（

a

，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（

a

）=

1

2

a（1-lna），
0＜a＜e時(shí)，f（

a

）＞0，此時(shí)方程f（x）=0無(wú)解，
a=e時(shí)，f（

a

）=0，方程f（x）=0有唯一解，
a＞e時(shí)，f（

a

）＜0，方程f（x）=0有2個(gè)解，
綜上：0＜a＜e時(shí)，f（x）=0無(wú)解，
a＜0或a=e時(shí)，f（x）有唯一解，
a＞e時(shí)，f（x）=0有2個(gè)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了求曲線的切線方程，函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，方程根的情況，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．