Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，圓： 與軸交于點(diǎn)、， 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)， ， 面積最大值為．　

（1）求圓與橢圓的方程；

（2）圓的切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)、，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ， .(2) .

【解析】試題分析：（1）由離心率公式和的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義可得 即為橢圓的焦點(diǎn)，可得 ，再由 位于橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)， 的面積取得最大值 ，解方程即可得到 的值，即有圓和橢圓的方程；
（2）討論直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，求得切線(xiàn)的方程，代入橢圓方程可得交點(diǎn)和弦長(zhǎng)；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，運(yùn)用直線(xiàn)和圓相切的條件，再由直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，化為 的函數(shù)式，運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求弦長(zhǎng)的范圍．

試題解析：（1）由題意得，解得，①

因?yàn)?/span>，所以，點(diǎn)、為橢圓的焦點(diǎn)，所以，

設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)， ，代入①解得，所以， ，

所以，圓的方程為，橢圓的方程為．

（2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為， ， ，

因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切，所以，即，

聯(lián)立消去可得，

，

， ，

，

令，則，所以， ，

所以，所以；

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，解得， ， ．

綜上， 的取值范圍是．