Question

2．數(shù)列{a_n}中，設a_n＞0，a₁=1且a_n•a²_n+1=3⁶則數(shù)列{a_n}的通項公式為${3}^{2[1-（-\frac{1}{2}）^{-1}]}$．

Answer 1

分析 由已知得lg（${a}_{n}{{a}_{n+1}}^{2}$）=lg3⁶，由此能推導出{lga_n-2lg3}是首項為-2lg3，公比為-$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中，設a_n＞0，a₁=1且a_n•a²_n+1=3⁶，
∴l(xiāng)g（${a}_{n}{{a}_{n+1}}^{2}$）=lg3⁶，∴l(xiāng)ga_n+2lga_n+1=6lg3，
設2（lga_n+1+λ）=-（lga_n+λ），
則lga_n+2lga_n+1=-3λ，
∴-3λ=6lg3，解得λ=-2lg3，∴2（lga_n+1-2lg3）=-（lga_n-2lg3），
∴$\frac{lg{a}_{n+1}-2lg3}{lg{a}_{n}-2lg3}$=-$\frac{1}{2}$，
∵lga₁-2lg3=-2lg3，
∴{lga_n-2lg3}是首項為-2lg3，公比為-$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴$lg{a}_{n}-2lg3=-2lg3•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，∴l(xiāng)ga_n=2lg3-2lg3•（-$\frac{1}{2}$）^n-1=2[1-（-$\frac{1}{2}$）^n-1]lg3，
∴${a}_{n}={3}^{2[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]}$．
故答案為：${3}^{2[1-（-\frac{1}{2}）^{-1}]}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和對數(shù)性質(zhì)的合理運用．