Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，．
（Ⅰ）求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，則O是AC的中點(diǎn)．又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可知OM∥AB，而OM?平面ABD，AB?平面ABD，滿足線面平行的判定定理；
（Ⅱ）根據(jù)OM=OD=3，而，則OD⊥OM，根據(jù)菱形ABCD的性質(zhì)可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根據(jù)線面垂直的判定定理可得OD⊥平面ABC，OD?平面MDO，滿足面面垂直的判定定理，從而證得結(jié)論；
（Ⅲ）根據(jù)三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，則OD=3為三棱錐D-ABM的高，最后根據(jù)三棱錐的體積公式解之即可．
解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M是△ABC的中位線，OM∥AB．…（2分）
因?yàn)镺M?平面ABD，AB?平面ABD，
所以O(shè)M∥平面ABD．…（4分）
（Ⅱ）證明：由題意，OM=OD=3，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184836163926200/SYS201310241848361639262015_DA/1.png">，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（6分）
又因?yàn)榱庑蜛BCD，所以O(shè)D⊥AC．…（7分）
因?yàn)镺M∩AC=O，
所以O(shè)D⊥平面ABC，…（8分）
因?yàn)镺D?平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO．…（9分）
（Ⅲ）解：三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．…（10分）
由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以O(shè)D=3為三棱錐D-ABM的高．…（11分）
△ABM的面積為BA×BM×sin120°=×6×3×=，…（12分）
所求體積等于．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的判定和體積的計(jì)算，同時(shí)考查了推理論證和計(jì)算能力，屬于中檔題．