Question

13．已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2），F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上異于A、B的動點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率之積為-$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動直線l與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，求證：點(diǎn)F₁、F₂到直線l的距離乘積為定值．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)P（x，y），利用直線PA、PB的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，即$\frac{y-0}{x+a}$•$\frac{y-0}{x-a}$=-$\frac{1}{2}$，化簡與橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1比較即得結(jié)論；
（2）通過設(shè)F₁、F₂到直線l的距離分別為d₁、d₂，當(dāng)斜率存在時設(shè)直線l方程：y=kx+b，并與橢圓方程聯(lián)立，利用△=0可得8k²-b²+4=0，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可；當(dāng)斜率不存在時直線l的方程為：x=$2\sqrt{2}$或x=-$2\sqrt{2}$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2），
∴A（-a，0），B（a，0），
設(shè)P（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∵直線PA、PB的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{y-0}{x+a}$•$\frac{y-0}{x-a}$=-$\frac{1}{2}$，
化簡得：x²+2y²-a²=0，即$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{2}}$=1，
∴a²=8，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）證明：設(shè)F₁、F₂到直線l的距離分別為d₁、d₂，對動直線l的斜率進(jìn)行討論：
①當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l方程為：y=kx+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0，
∵直線l與橢圓相切，
∴△=（4kb）²-4（1+2k²）（2b²-8）=0，
化簡得：8k²-b²+4=0，
∵橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
則d₁•d₂=$\frac{|-2k+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{|2k+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|^{2}-4{k}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{|8{k}^{2}+4-4{k}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=4；
②當(dāng)斜率不存在時，直線l的方程為：x=$2\sqrt{2}$或x=-$2\sqrt{2}$，
此時d₁•d₂=|2+$2\sqrt{2}$||2-$2\sqrt{2}$|=4；
綜上所述：點(diǎn)F₁、F₂到直線l的距離乘積為定值4．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．