Question

8．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2-{x}^{2}}，-\sqrt{2}≤x≤1}\\{\frac{1}{x}，1＜x≤e}\end{array}\right.$，則${∫}_{-\sqrt{2}}^{e}$f（x）dx等于（　�。�

• A． $\frac{3π+6}{4}$
• B． $\frac{3π+4}{4}$
• C． π+1
• D． $\frac{3π+3}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)分步積分得到${∫}_{-\sqrt{2}}^{e}$f（x）dx=${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx+${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$，再根據(jù)定積分的幾何意義求出${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$，問題得以解決．

解答 解：${∫}_{-\sqrt{2}}^{e}$f（x）dx=${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx+${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$，
其中${∫}_{-\sqrt{2}}^{1}$$\sqrt{2-{x}^{2}}$，表示如圖所示的陰影部分的面積，
∵0C=$\sqrt{2}$，OA=1，
∴AC=1，∠C0A=$\frac{π}{4}$，
∴∠BOC=$\frac{3π}{4}$
∴S陰影=S_扇形BOC+S_△OAC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3π}{4}$×（$\sqrt{2}$）²+$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{3π}{4}$+$\frac{1}{2}$，
∴${∫}_{-\sqrt{2}}^{e}$f（x）dx=lnx|${\;}_{1}^{e}$+$\frac{3π}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3π+6}{4}$，
故選：A

點(diǎn)評 本題考查了的定積分的計算和定積分的幾何意義，以及分步積分，屬于中檔題．