點(diǎn)P（x，y）是曲線C：（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線與x軸、y周分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．給出三個(gè)命題：①PA=PB；②△OAB的面積為定值；③曲線C上存在兩點(diǎn)M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．其中真命題的個(gè)數(shù)是    ．
【答案】分析：曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為，求出A（2x，0），B（0，），P（），由此得到PA=PB，△OAB的面積S==2；由題意知曲線C上不存在兩點(diǎn)M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
解答：解：∵（x＞0），
∴y′=-，
∴曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為：y-=-（x-x），
整理，得，
∴A（2x，0），B（0，），P（），
∴PA=PB=，故①正確；
∵A（2x，0），B（0，），
∴△OAB的面積S==2，故②正確；
曲線C上不存在兩點(diǎn)M，N，使得△OMN為等腰直角三角形，故③不正確．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）點(diǎn)P（x，y）是曲線C：y=
1
x
（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．給出三個(gè)命題：
①|(zhì)PA|=|PB|；
②△OAB的周長(zhǎng)有最小值4+2
2
；
③曲線C上存在兩點(diǎn)M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）已知點(diǎn)P（x，y）是曲線C上的點(diǎn)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2+4ρcosθ-5=0，則使
3
x-y+a≥0恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為
[6+2
3
，+∞）
[6+2
3
，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（x，y）是曲線y=
1-x2
上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x+3的距離的最大值是
2
2
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點(diǎn)P（x，y）是曲線C：
x=-2+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)，0≤θ＜π）上的任意一點(diǎn)，則
y
x
的取值范圍是
[-
3
3
，0]
[-
3
3
，0]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)P（x，y）是曲線x2-y2=1（x＞0）上的點(diǎn)，則
yx
的取值范圍
（-1，1）
（-1，1）
．

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