Question

(本題滿分12分)已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點(diǎn)為，過左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）求證： ()；

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見解析

（Ⅰ）設(shè)橢圓W的方程為，由題意可知
解得，，，
所以橢圓W的方程為．（4分）
（Ⅱ）解法1：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
于是可設(shè)直線 的方程為．
得.
由直線與橢圓W交于、兩點(diǎn)，可知
，解得．
設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,
則，，
，．(8分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144211119323.gif" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144211181678.gif" style="vertical-align:middle;" />

，
所以．    (12分)
解法2：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.
于是可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．
由橢圓的第二定義可得,
所以，，三點(diǎn)共線，即．(12分)