Question

已知a>0,b>0,a+b≤4,求證：≥1.

 

Answer 1

答案：
解析：

顯然，圍成直三棱柱的底面為直角三角形，若兩直角邊分別為x和y,則x2+y2是長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)或?qū)?定值）的平方.這樣，本例的問題主要體現(xiàn)在均值不等式的應(yīng)用上. 解：一）.小強(qiáng)用直尺測(cè)出木板的長(zhǎng)為a,寬為b，依題可知：a>b>0，且兩墻夾角(即二面角）為90°. (1)a作底邊,設(shè)S底為底面直角三角形的面積,兩直角邊一個(gè)是x,一個(gè)是y,則有: S底=xy,V1=(xy)·b,且x2+y2=a2 ∵x2+y2≥2xy ∴xy≤ ∴V1≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=a時(shí)取“=”號(hào). (2)b作底邊，同(1)可得V2≤,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=b時(shí)取“=”號(hào). 又a>b>0  ∴ab>0,a－b>0 ∴V1－V2=－=ab(a－b)>0 ∴V1>V2,即> 故把長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)邊放在底面，且圍成的直三棱柱的底面是等腰直角三角形時(shí)，容積最大. 二）.若兩面夾角(即二面角)換成α時(shí)，解答如下： (1)設(shè)用矩形木板長(zhǎng)a作直三棱柱的側(cè)棱，寬b作為底面的一條邊，底面三角形的另兩邊的長(zhǎng)分別是x,y,體積為V1，則有： ∴xy=,x2+y2=b2+≥2xy ∴b2+≥   整理得： V1≤ab2·cot,當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào).   (2)設(shè)矩形木板的寬b作側(cè)棱，則 當(dāng)x=y時(shí)，V2=a2b·cot. ∵a>b>0,∴ab>0,a－b>0 ∴a2b>ab2  即V2>V1 < 故把矩形木板的長(zhǎng)邊放在底面，且圍成的直三棱柱的底面是等腰三角形(頂角為α)時(shí)，容積最大，且最大值Vmax=a2b·cot.