Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+a1nx．a(chǎn)∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+y-1=0平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若a＞0，函數(shù)g（x）=f（x）+2x+2a|lnx-1|，求函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）上的最小值．（注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．）

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件，可得a=-1；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，2x²-2x+a的判別式為4-8a，討論大于0，小于0，等于0，由求根公式和不等式的解法，可得單調(diào)區(qū)間；
（3）運(yùn)用分段函數(shù)的形式，求得g（x）的解析式，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)討論各段的單調(diào)性，可得最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2x+a1nx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=a，
切線與直線x+y-1=0平行，即有a=-1；
（2）由f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+a}{x}$，x＞0，
即有2x²-2x+a的判別式為4-8a，
①若4-8a≤0，即a≥$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增；
若4-8a＞0，即a＜$\frac{1}{2}$，2x²-2x+a=0的兩根為x₁=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$或x₂=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，
②若a=0即有x₂=0，f（x）在（1，+∞）遞增，在（0，1）遞減；
③若0＜a＜$\frac{1}{2}$，f（x）在（x₁，+∞），（0，x₂）遞增，在（x₂，x₁）遞減，
④若a＜0，f（x）在（0，x₁）遞減，在（x₁，+∞）遞增；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）+2x+2a|lnx-1|
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-alnx+2a，\frac{1}{e}≤x≤e}\\{{x}^{2}+3alnx-2a，x＞e}\end{array}\right.$，
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x≤e時(shí)，g′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$，
若a≥2e²，即有g(shù)′（x）≤0，g（x）遞減，即有x=e處取得最小值e²+a；
若0＜a≤$\frac{2}{{e}^{2}}$時(shí)，g′（x）≥0，g（x）遞增，即有x=$\frac{1}{e}$處取得最小值3a+$\frac{1}{{e}^{2}}$；
若$\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜2e²時(shí)，g（x）在（$\frac{1}{e}$，$\sqrt{\frac{a}{2}}$）遞減，在（$\sqrt{\frac{a}{2}}$，e）遞增，
即有x=$\sqrt{\frac{a}{2}}$處取得最小值，且為$\frac{5a}{2}$-$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{2}$；
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）=2x+$\frac{3a}{x}$＞0恒成立，
即有g(shù)（x）在（e，+∞）遞增，無最小值；
綜上可得，當(dāng)a≥2e²，g（x）的最小值為e²+a；
當(dāng)0＜a≤$\frac{2}{{e}^{2}}$時(shí)，g（x）的最小值3a+$\frac{1}{{e}^{2}}$；
當(dāng)$\frac{2}{{e}^{2}}$＜a＜2e²時(shí)，g（x）的最小值為$\frac{5a}{2}$-$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．