Question

3．某農(nóng)副產(chǎn)品從5月1日起開(kāi)始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到該農(nóng)副產(chǎn)品種植成本Q（單位：元/kg）與上市時(shí)間t（單位：天）的數(shù)據(jù)如表：

時(shí)間天	50	110	250
種植成本	150	108	150

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)模型中選出一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來(lái)描述農(nóng)副產(chǎn)品種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系，要求簡(jiǎn)述你選擇的理由并求出該函數(shù)表達(dá)式．參考函數(shù)：Q=at+b，Q=at²+bt+c；Q=ab^t；Q=alog_bt（以上均有a≠0）
（2）利用你選出的函數(shù)模型，求該農(nóng)副產(chǎn)品最低種植成本及相應(yīng)的上市時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由表提供數(shù)據(jù)知函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)，結(jié)合表中數(shù)據(jù)構(gòu)造方程組，求出各參數(shù)的值，可得函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的最小值及最小值點(diǎn)；

解答 解：（1）由表提供數(shù)據(jù)知函數(shù)不為單調(diào)函數(shù)，
而模型函數(shù)Q=at+b，Q=ab^t，Q=alog_bt均為單調(diào)函數(shù)，所以不適合；
從而選擇函數(shù)模型：Q=at²+bt+c …..（2分）
將表格數(shù)據(jù)代入Q=at²+bt+c得方程：
$\left\{\begin{array}{l}150=2500t+50b+c\\ 108=12100t+110b+c\\ 150=62500t+250b+c\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{200}\\ b=-\frac{3}{2}\\ c=\frac{425}{2}\end{array}\right.$…（6分）
所以描述農(nóng)副產(chǎn)品種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系為：Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$…..（7分）
（2）∵Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線t=150為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，
∴當(dāng)t=150時(shí)，Q取最小值100…．（9分）
答：該農(nóng)副產(chǎn)品最低種植成本為100元/kg，相應(yīng)的上市時(shí)間為150天…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．