Question

11．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可得a+b=1，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由z=ax+by（a＞0，b＞0），得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，z_max=a+b=1．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（a+b）=5+$\frac{a}+\frac{4a}$$≥5+2\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}=9$．
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時(shí)上式等號(hào)成立．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．