Question

已知平面向量

a

與

b

不共線，若存在非零實數(shù)x，y，使得

c

=

a

+2x

b

，

d

=-y

a

+2（2-x²）

b

．
（1）當

c

=

d

時，求x，y的值；
（2）若

a

=（cos

π

6

，sin(-

π

6

)），

b

=（sin

π

6

，cos

π

6

），且

c

⊥

d

，試求函數(shù)y=f（x）的表達式．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應用

分析：（1）由條件得：（1+y）

a

+（2x-4+2x²）

b

=

0

，∵向量

a

與

b

不共線，故

1+y=0 2x2+2x-4=0

，解之即可；
（2）由條件可求|

a

|=|

b

|=1，

c

•

d

=0，

c

•

d

=（

a

+2x

b

）•[-y

a

+(4-2x2)

b

]=-y

a

2-2xy

a

•

b

+（4-2x²）

a

•

b

+2x（4-2x²）

b

2=-y+2x（4-2x²）=0，移項可得y的解析式．

解答： 解：（1）由條件得：

a

+2x

b

=-y

a

+(4-2x2)

b

，
∴（1+y）

a

+（2x-4+2x²）

b

=

0

，
∵向量

a

與

b

不共線，
∴

1+y=0 2x2+2x-4=0

，解得y=-1，x=1或x=-2．
（2）∵

a

•

b

=cos

π

6

sin

π

6

+sin（-

π

6

）cos

π

6

=0，∴

a

⊥

b

又∵

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=0，又由條件可知，|

a

|=|

b

|=1
∴

c

•

d

=（

a

+2x

b

）•[-y

a

+(4-2x2)

b

]
=-y

a

2-2xy

a

•

b

+（4-2x²）

a

•

b

+2x（4-2x²）

b

2
=-y+2x（4-2x²）=0，∴y=8x-4x³，
即f（x）=8x-4x³

點評：本題為向量和三角函數(shù)的綜合應用，用好數(shù)量積為0與向量垂直的等價關系是解決問題的關鍵，屬中檔題．