Question

（2012•江蘇）設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ=0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ=1．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）求出兩條棱相交時(shí)相交棱的對(duì)數(shù)，即可由概率公式求得概率．
（2）求出兩條棱平行且距離為

2

的共有6對(duì)，即可求出相應(yīng)的概率，從而求出隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，
∴共有8

C

2 3

對(duì)相交棱，
∴P（ξ=0）=

8 C 2 3

C 2 12

=

4

11

．
（2）若兩條棱平行，則它們的距離為1或

2

，其中距離為

2

的共有6對(duì)，
∴P（ξ=

2

）=

6

C 2 12

=

1

11

，P（ξ=1）1-P（ξ=0）-P（ξ=

2

）=

6

11

．
∴隨機(jī)變量ξ的分布列是：

ξ	0	1	2
P	4 11	6 11	1 11

∴其數(shù)學(xué)期望E（ξ）=1×

6

11

+

2

×

1

11

=

6+ 2

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，求概率是關(guān)鍵．