Question

（2012•江蘇）設(shè)集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*．記f（n）為同時(shí)滿足下列條件的集合A的個(gè)數(shù)：
①A⊆P_n；②若x∈A，則2x∉A；③若x∈?PnA，則2x∉?PnA．
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得P₄={1，2，3，，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）
（2）任取偶數(shù)x∈p_n，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2…，經(jīng)過k次后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，可知，若m∈A，則x∈A，?k為偶數(shù)；若m∉A，則x∈A?k為奇數(shù)，可求

解答：解（1）當(dāng)n=4時(shí)，P₄={1，2，3，，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}
故f（4）=4
（2）任取偶數(shù)x∈p_n，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2…，經(jīng)過k次后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，
于是x=m•2^k，其中m為奇數(shù)，k∈N^*
由條件可知，若m∈A，則x∈A，?k為偶數(shù)
           若m∉A，則x∈A?k為奇數(shù)
于是x是否屬于A由m是否屬于A確定，設(shè)Q_n是P_n中所有的奇數(shù)的集合
因此f（n）等于Q_n的子集個(gè)數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)（或奇數(shù)時(shí)），P_n中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是

1

2

n（或

1+n

2

）
∴f(n)=

2 n 2 ，n為偶數(shù) 2 n+1 2 ，n為奇數(shù)

點(diǎn)評：本題主要考查了集合之間包含關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確應(yīng)用題目中的定義