Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，
AB∥CD，∠ADC=90°，AB=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求異面直線PC與AB所成角的余弦值：
（Ⅱ）求證：BE∥平面PAD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得異面直線PC與AB所成角為∠PCD，由此能求出異面直線PC與AB所成角的余弦值．
（Ⅱ）取PD的中點F，連結EF，AF，由已知條件推導出四邊形ABEF為平行四邊形，由此能證明BE∥平面PAD．

解答： （Ⅰ）解：∵底面ABCD是直角梯形，
∴AB∥CD，
∴異面直線PC與AB所成角為∠PCD，
∵PD⊥CD，AB=PD=1，CD=2，
∴PC=

1+4

=

5

，
∴cos∠PCD=

CD

PC

=

2

5

=

2 5

5

．
∴異面直線PC與AB所成角的余弦值為

2 5

5

．
（Ⅱ）證明：取PD的中點F，連結EF，AF，
∵E為PC中點，
∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，
四邊形ABEF為平行四邊形，
∴BE∥AF，BE不包含平面PAD，
AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．