Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測(cè)試．假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是

1

3

，每次測(cè)試時(shí)間間隔恰當(dāng)，每次測(cè)試通過(guò)與否互相獨(dú)立．
（1）求該學(xué)生考上大學(xué)的概率．
（2）如果考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束，記該生參加測(cè)試的次數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，其對(duì)立事件為

.

A

，結(jié)合題意得到事件

.

A

的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到答案．
（2）由題意可得：參加測(cè)試次數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，再結(jié)合題意分別求出其發(fā)生的概率，即可得到X的分布列，進(jìn)而得到X的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，其對(duì)立事件為

.

A

，
∴根據(jù)題意可得：P(

.

A

)=

C

1 5

(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5，…（2分）
∴P(A)=1-[

C

1 5

•(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5]=

131

243

，…（4分）
∴該學(xué)生考上大學(xué)的概率為

131

243

．
（2）由題意可得：參加測(cè)試次數(shù)X的可能取值為2，3，4，5，…（5分），
∴P(X=2)=(

1

3

)2=

1

9

，P(X=3)=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

1

3

=

4

27

，P(X=4)=

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)2•

1

3

=

4

27

，P(X=5)=

C

1 4

•

1

3

•(

2

3

)3+(

2

3

)4=

16

27

．    …（8分）
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	1 9	4 27	4 27	16 27

∴X的數(shù)學(xué)期望為：E(X)=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

4

27

+5×

16

27

=

38

9

．  …（9分）
答：該生考上大學(xué)的概率為

131

243

；X的數(shù)學(xué)期望是

38

9

． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式，以及利用正難則反的解題方法解決問(wèn)題，本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，此類(lèi)型的題目是個(gè)類(lèi)型考試的命題熱點(diǎn)之一，一般以基礎(chǔ)題或者中檔題的形式出現(xiàn)，只要讀懂題意一般能夠得到全分．