Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，BB₁=2，求：
（1）異面直線(xiàn)B₁C₁與A₁C所成角的大��；
（2）直線(xiàn)B₁C₁到平面A₁BC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算,異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題意可得∠A₁CB（或其補(bǔ)角）即為異面直線(xiàn)B₁C₁與A₁C所成的角，解三角形可得；
（2）可證B₁C₁∥平面A₁BC，則B₁到平面A₁BC的距離h即為所求，由等體積法可得VB1-A1BC=VC-A1BB1，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得．

解答： 解：（1）由題意可得BC∥B₁C₁，
∴∠A₁CB（或其補(bǔ)角）即為異面直線(xiàn)B₁C₁與A₁C所成的角，
由題意可知BC⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥A₁B，
∴△A₁BC為直角三角形，
∴tan∠A₁CB=

A1B

BC

=

AB2+BB12

BC

=

5

，
∴異面直線(xiàn)B₁C₁與A₁C所成的角為arctan

5

；
（2）∵BC∥B₁C₁，BC?平面A₁BC，B₁C₁?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC，
∴直線(xiàn)B₁C₁上任意一點(diǎn)到平面A₁BC的距離均為直線(xiàn)B₁C₁到平面A₁BC的距離，
不妨取B₁，且設(shè)B₁到平面A₁BC的距離為h，
由等體積法可得VB1-A1BC=VC-A1BB1，即

1

3

S△A1BC×h=

1

3

S△ABB1×BC
代入數(shù)據(jù)可得

1

3

×

1

2

×1×

5

×h=

1

3

×

1

2

×2×1×1，解得h=

2 5

5

∴直線(xiàn)B₁C₁到平面A₁BC的距離為

2 5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)所成的角，涉及直線(xiàn)到平面的距離，等體積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．